数学笔记——导数1(导数的基本概念)

　

幂函数求导

 什么是导数

导数是高数中的重要概念，被应用于多种学科。

从物理意义上讲，导数就是求解变化率的问题；从几何意义上讲，导数就是求函数在某一点上的切线的斜率。

我们熟知的速度公式：v = s/t，这求解的是平均速度，实际上往往需要知道瞬时速度：

当t趋近于t₀，即t-t₀趋近于0时，得到的就是顺时速度。设Δt=t-t₀，s是t的函数s=f(t)，瞬时速度用数学表示就是：

为什么s=f(t)呢？请看下图：

将横轴作为距离，以时间为单位分隔，在t₀时间经过的距离是f(t₀)=S₀，在t时间经过的距离是f(t)=s

在几何上，如下图所示：

直线a与曲线相切于点Q，直线b与曲线相割于点Q和点P。b的斜率，k=(y-y₀)/(x-x₀)，当b以Q为轴心沿着曲线旋转时，铉长|PQ|趋近于0，即x->x₀时，极限存在：

有上述两个问题可以看出，变化率和切线的问题都可以归结为下面的公式：

定义Δx = x-x₀, Δy = y - y0 = f(x) – f(x₀) = f(x₀ + Δx) - f(x₀)，上面的公式可以写成：

由此得出导数的概念，设函数y=f(x)在点x₀的某个邻域内有定义，当自变量x在x₀处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量Δy；如果Δy与Δx之比当Δx->0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x₀处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x₀处的导数，记作f’(x₀) ：

也记作：

简写为：

1/x求导

根据导数公式，代入f(x) = 1/x

这就OK了，所以说导数很简单，因为它仅有一个公式，但没完，因为上式没有任何意义，仅仅是看起来更复杂了。如果我们直接观察导数公式，对于所有求导，当Δx->0时，分母为0，所以必须将导数进一步简化。

需要注意的是，求f’(x)的完整说法是求f(x)在定义域某一点的导数，所以x是已知的，求某一点的导数，当然要知道这个点是什么。

求切线所在三角形的面积

如下图所示，直线MN是曲线1/x的切线，切点是(x0,y0)，求S_△MON

S_△MON = 1/2(MO * ON)，已知条件是切点(x₀,y₀)，需要求解的未知条件是MO和NO。

直线MN的公式是y=kx+b，根据上节的介绍，1/x在（x₀,y₀）的导数是MN的斜率 -1/x₀²，代入得：

y₀=-1/x₀² + b   =>

1/x₀ = (-1/x₀²) x₀+ b  =>

b = 2/x₀

设N点的坐标是(x,0)，代入y=kx+b得：

  0=(-1/x₀²)x+2/x₀  => x = 2x₀

即OM = 2x₀

同理，MO=2y₀

S_△MON = 1/2(MO * ON) = 1/2(2x₀2y₀) = 1/2(2x₀)(2/x₀) = 2

幂函数求导

f(x) = Xⁿ的导数：f’(x) = nx^n-1

例：(3x⁶)’ = 3 * 6x^6-1 =  18x⁵

该公式可以扩展到多项式中：

(3x³ + 6x¹⁰)' = 3 * 3x^3-1 + 6 * 10 x^10-1 = 9x² + 60x⁹

sin和cos求导

下面是sinx和cosx的去曲线图：

sinx

cosx

sin0°= 0，sin90°= sin(π/2) = 1

求导时需要用到几个公式：

1、2不解释，3、4后面会给出证明：

(sinx)’

(cosx)’

为什么会有公式3、4

，需要从几何意义上证明。

上图是一个单位圆，将Δx用θ替换。由于单位圆r=1，弧长MN=(2πr ) (θ/360) = (2πr)(θ/2π) =θ。

公式3：

当θ趋近于0时，PN比弧长MN更快地趋近于0，所以公式3成立。

公式4：sinθ=MP/OM=MP. 当θ趋近于0时，MP越来越趋近与MN（趋近但不等于0），所以：

函数可导的条件

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

下面是两个不可导的例子：

f(x)=x^1/3

f(x)=x^1/3，f’(x)=x^-2/3/3在x=0处分母为0，所以在x=0处不可导。实际上该函数在x=0处的切线是y轴，导数趋近于无穷，不符合导数的定义。

f(x)=|x|

几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。f(x)=|x|在x=0点时，曲线没有唯一方向，即在x=0点没有切线，所以该函数在x=0点不可导。

总结

1. 导数的物理意义：描述变化率，几何意义：切线的斜率
2. 导数公式:

1. 基本函数求导公式

1)       (C)’ = 0

2)       (1/x)’ = -1/x²

3)       (xⁿ)’ = nx^n-1

4)       (sinx)’ = cosx

5)       (cosx)’=-sinx

4.可导的充要条件，它的左右极限存在且相等；可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

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作者：我是8位的

出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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