「角加速度公式」与速度对偶的角速度系公式

角加速度公式

与速度所对偶的物理量是角速度.

设角速度为 $ω = \frac{d θ}{d t} \ display style \omega=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}$ ω=dtdθ,则角速度的改变量可以由 $α = \frac{d ω}{d t} \displaystyle \alpha = \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}$ α=dtdω给出,称其为角加速度.

可以发现 $x = θ r, v = ω r, a = α r x=\theta r,v=\omega r,a= \alpha r$ x=θr,v=ωr,a=αr的关系,两者在不考虑 $r r$ r的情况下就是完全等同的.

所以以下式子自然成立:

${\begin{matrix} ω & = ω_{0} + α t \\ ω_{t} - ω_{0} & = 2 α (θ_{t} - θ_{0}) \\ θ - θ_{0} & = ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2} \\ θ - θ_{0} & = ω_{t} t - \frac{1}{2} α t^{2} \end{matrix} \left\{
\begin{array}{ll}
\omega&=\omega_0+\alpha t\\
\omega_t-\omega_0&=2\alpha(\theta_t-\theta_0)\\
\displaystyle \theta-\theta_0& \displaystyle =\omega_0 t+\frac{1}{2}\alpha t^2\\
\displaystyle \theta-\theta_0& \displaystyle =\omega_t t-\frac{1}{2}\alpha t^2
\end{array}
\right.$ ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧ωωt−ω0θ−θ0θ−θ0=ω0+αt=2α(θt−θ0)=ω0t+21αt2=ωtt−21αt2

设 $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$ M=r×F,称其为力矩.

通过右手定则,我们发现力 $\vec{F} \vec{F}$ F对 $\vec{M} \vec{M}$ M的叠加只与力的作用方向有关.相同时钟方向的力矩正向叠加,相反的则相消.那么很容易由此知道相互作用力的力矩代数和为零.因此刚体内力矩为零,这与质点系的结论类似.

由牛顿第二定律,也能推出力矩和角加速度的关系.取刚体一质量微元 $d m \mathrm{d} m$ dm, $M_{i} = r_{i} F_{i t} = r_{i}^{2} d m α M_i=r_iF_{it}=r_i^2 \mathrm{d} m \alpha$ Mi=riFit=ri2dmα.求和得 $M = α \int r^{2} d m M=\alpha \int r^2 \mathrm{d}m$ M=α∫r2dm.命 $J = \int r^{2} d m J=\int r^2 \mathrm{d} m$ J=∫r2dm为转动惯量,则 $M = J α M=J\alpha$ M=Jα,可以知道这在角速度系中具有质量的地位.

从而动量也有其对偶量,定义角动量公式为 $L = J ω L=J\omega$ L=Jω,那么 $L = \vec{r} \times \vec{p} L=\vec{r}\times \vec{p}$ L=r×p(注意 $M = \vec{r} \times \vec{F} M=\vec{r}\times \vec{F}$ M=r×F)也成立.

注意到 $M = J \frac{d ω}{d t} \displaystyle M=J\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}$ M=Jdtdω,得 $\int M d t = J Δ ω \int M \mathrm{d} t=J\Delta \omega$ ∫Mdt=JΔω,定义左式为角冲量.事实上 $J J$ J会连续变化,并且 $\int M d t = Δ (J ω) \int M \mathrm{d} t=\Delta (J\omega)$ ∫Mdt=Δ(Jω)也成立,得到一个物理关系：当转轴一定时,作用在物体的冲量矩等于角动量的增量.

若外力矩为零,我们知道左侧为零,于是 $Δ J = 0 \Delta J=0$ ΔJ=0,从而 $J J$ J始终为一常量.我们称这种现象为角动量守恒.

另外在功能关系上，也有同样的对偶性.

${\begin{matrix} W = & \int M (θ) d θ \\ P = & M θ \\ E_{k} = & \frac{1}{2} J ω^{2} \\ W = & \frac{1}{2} J ω_{t}^{2} - \frac{1}{2} J ω_{0}^{2} \end{matrix} \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle W=& \displaystyle \int M(\theta)\mathrm{d}\theta\\
P=& M\theta\\
E_k=&\displaystyle \frac{1}{2}J\omega^2\\
W=&\displaystyle \frac{1}{2}J\omega^2_t-\displaystyle \frac{1}{2}J\omega^2_0\\
\end{array}
\right.$ ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧W=P=Ek=W=∫M(θ)dθMθ21Jω221Jωt2−21Jω02

与速度对偶的角速度系公式

角加速度公式

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