「伯努利原理」伯努利原理证明

伯努利原理

原表达式

$\frac{1}{2} ρ ν^{2} + ρ g h + p = c o n s t a n t \frac{1}{2}\rho\nu^2 + \rho g h + p = const ant$ 21ρν2+ρgh+p=constant

其中：

$ν = \nu=$ ν= 流体流速

$g = g=$ g= 重力加速度

$h = h=$ h= 流体处于的高度

$p = p=$ p= 流体所受的压力强度

$ρ = \rho =$ ρ= 流体密度

定理假设

定常流动
不可压缩流体
无摩擦流
流体沿着流线流动

推导过程

在这里插入图片描述

流体在直管路的时候一般是没有压差的，也就是压力对它不做功，当遇到管路突然改变的时候就会发生压力的改变，从而出现压差，我们假设这个压差是固定值，这样就会出现两处压差 $p_{1}, p_{2} p_1,p_2$ p1,p2，如图所示。

流体因受压力推动而得到能量：

$F_{1} s_{1} - F_{2} s_{2} = p_{1} A_{1} ν_{1} Δ_{t} + p_{2} A_{2} ν_{2} Δ_{t} F_1s_1 - F_2s_2 = p_1A_1\nu_1\Delta_t + p_2A_2\nu_2\Delta_t$ F1s1−F2s2=p1A1ν1Δt+p2A2ν2Δt

流体因重力做功而损失的能量：

$m g h_{1} + m g h_{2} = ρ g A_{1} ν_{1} Δ_{t} h_{1} + ρ g A_{2} ν_{2} Δ_{t} h_{2} mgh_1 + mgh_2 = \rho gA_1\nu_1\Delta_th_1 + \rho gA_2\nu_2\Delta_th_2$ mgh1+mgh2=ρgA1ν1Δth1+ρgA2ν2Δth2

流体所得动能：

$\frac{1}{2} m ν_{2}^{2} - \frac{1}{2} m ν_{1}^{2} = \frac{1}{2} ρ A_{2} ν_{2} Δ_{t} ν_{2}^{2} + \frac{1}{2} ρ A_{1} ν_{1} Δ_{t} ν_{1}^{2} \frac{1}{2}m\nu_2^2 - \frac{1}{2}m\nu_1^2 = \frac{1}{2}\rho A_2\nu_2\Delta_t\nu_2^2 + \frac{1}{2}\rho A_1\nu_1\Delta_t\nu_1^2$ 21mν22−21mν12=21ρA2ν2Δtν22+21ρA1ν1Δtν12

根据能量守恒定律：流体因压力做功所得能量 + 流体因重力做功所失能量 = 流体所得动能

化简可以得到：

$\frac{ν^{2}}{2 g} + h + \frac{p}{ρ g} = c o n s t a n t \frac{\nu^2}{2g} + h + \frac{p}{\rho g} = constant$ 2gν2+h+ρgp=constant

伯努利原理证明