4.常用的几个傅里叶变换相关公式 [学习笔记]

　

傅里叶变换公式

在本文开始前，需要说明一点，以下推导出的各项公式，只是为了实际计算中方便，并不都有其对应的物理意义。

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首先，我们写出符号f−(t)=f(−t)" role="presentation" style="position: relative;">f−(t)=f(−t)$f^{-}(t)=f(-t)$，显然，对于奇函数而言，f−=−f" role="presentation" style="position: relative;">f−=−f$f^{-}=-f$；对于偶函数而言，f−=f" role="presentation" style="position: relative;">f−=f$f^{-}=f$。

根据前文傅里叶变换推导，我们知道

(1)Ff(s)=∫−∞+∞e−2πistf(t)dt" role="presentation">Ff(s)=∫+∞−∞e−2πistf(t)dt(1)$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathcal{F}f(s)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-2\pi ist}f(t)dt\end{array}$$

(2)F−1g(t)=∫−∞+∞e2πistg(s)ds" role="presentation">F−1g(t)=∫+∞−∞e2πistg(s)ds(2)$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\mathcal{F}}^{-1}g(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{2\pi ist}g(s)ds\end{array}$$

由(1)" role="presentation" style="position: relative;">(1)$(1)$式，我们有

(Ff)−(s)=Ff(−s)=∫−∞+∞e−2πi(−s)tf(t)dt(3)=∫−∞+∞e2πistf(t)dt" role="presentation">(Ff)−(s)=Ff(−s)=∫+∞−∞e−2πi(−s)tf(t)dt=∫+∞−∞e2πistf(t)dt(3)$$\begin{array}{rl}(\mathcal{F}f{)}^{-}(s)=\mathcal{F}f(-s)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-2\pi i(-s)t}f(t)dt\\ \text{(3)}& & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{2\pi ist}f(t)dt\end{array}$$

我们再令(2)" role="presentation" style="position: relative;">(2)$(2)$式中的s=t" role="presentation" style="position: relative;">s=t$s=t$、t=s" role="presentation" style="position: relative;">t=s$t=s$，得到

(4)F−1g(s)=∫−∞+∞e2πistg(t)dt" role="presentation">F−1g(s)=∫+∞−∞e2πistg(t)dt(4)$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\mathcal{F}}^{-1}g(s)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{2\pi ist}g(t)dt\end{array}$$

由(3)" role="presentation" style="position: relative;">(3)$(3)$、(4)" role="presentation" style="position: relative;">(4)$(4)$，我们得到

(5)(Ff)−=F−1f" role="presentation">(Ff)−=F−1f(5)$$\begin{array}{}\text{(5)}& (\mathcal{F}f{)}^{-}={\mathcal{F}}^{-1}f\end{array}$$

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再来看另一个变换

F(f−)(s)=∫−∞+∞e−2πistf−(t)dt=∫−∞+∞e−2πistf(−t)dt" role="presentation">F(f−)(s)=∫+∞−∞e−2πistf−(t)dt=∫+∞−∞e−2πistf(−t)dt$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}(f^{-})(s)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-2\pi ist}{f}^{-}(t)dt\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-2\pi ist}f(-t)dt\end{array}$$

运用换元法，令u=−t" role="presentation" style="position: relative;">u=−t$u=-t$，我们有：

F(f−)(u)=∫+∞−∞e−2πi(−u)tf(u)d(−u)=∫−∞+∞e2πiutf(u)du=F−1f(u)" role="presentation">F(f−)(u)=∫−∞+∞e−2πi(−u)tf(u)d(−u)=∫+∞−∞e2πiutf(u)du=F−1f(u)$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}(f^{-})(u)& ={\int }_{+\mathrm{\infty }}^{-\mathrm{\infty }}{e}^{-2\pi i(-u)t}f(u)d(-u)\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{2\pi iut}f(u)du\\ & ={\mathcal{F}}^{-1}f(u)\end{array}$$

要注意，等式左边的F(f−)(u)" role="presentation" style="position: relative;">F(f−)(u)$\mathcal{F}(f^{-})(u)$中的(u)" role="presentation" style="position: relative;">(u)$(u)$仅表示该式是关于u" role="presentation" style="position: relative;">u$u$的函数，因此不用改写为−u" role="presentation" style="position: relative;">−u$-u$

因此我们有：

(6)F(f−)=F−1f" role="presentation">F(f−)=F−1f(6)$$\begin{array}{}\text{(6)}& \mathcal{F}(f^{-})={\mathcal{F}}^{-1}f\end{array}$$

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接下来我们计算F−1(f−)" role="presentation" style="position: relative;">F−1(f−)${\mathcal{F}}^{-1}(f^{-})$，根据(2)" role="presentation" style="position: relative;">(2)$(2)$式，我们有：

F−1f−(t)=∫−∞+∞e2πistf−(s)ds=∫−∞+∞e2πistf(−s)ds" role="presentation">F−1f−(t)=∫+∞−∞e2πistf−(s)ds=∫+∞−∞e2πistf(−s)ds$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}^{-1}{f}^{-}(t)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{2\pi ist}{f}^{-}(s)ds\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{2\pi ist}f(-s)ds\end{array}$$

同样地，运用换元法，令u=−s" role="presentation" style="position: relative;">u=−s$u=-s$，我们可以得到

F−1f−(u)=∫+∞−∞e2πi(−u)tf(u)d(−u)=∫−∞+∞e−2πiutf(u)du(7)=Ff(u)" role="presentation">F−1f−(u)=∫−∞+∞e2πi(−u)tf(u)d(−u)=∫+∞−∞e−2πiutf(u)du=Ff(u)(7)$$\begin{array}{rl}{\mathcal{F}}^{-1}{f}^{-}(u)& ={\int }_{+\mathrm{\infty }}^{-\mathrm{\infty }}{e}^{2\pi i(-u)t}f(u)d(-u)\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-2\pi iut}f(u)du\\ \text{(7)}& & =\mathcal{F}f(u)\end{array}$$

注意，傅里叶变换满足性质：

(8)FF−1f=F−1Ff=f" role="presentation">FF−1f=F−1Ff=f(8)$$\begin{array}{}\text{(8)}& \mathcal{F}{\mathcal{F}}^{-1}f={\mathcal{F}}^{-1}\mathcal{F}f=f\end{array}$$

因此，由(8)" role="presentation" style="position: relative;">(8)$(8)$式，我们可以对(7)" role="presentation" style="position: relative;">(7)$(7)$式的等号两端同时进行傅里叶变换，得到以下结论：

FFf=f−" role="presentation">FFf=f−$$\mathcal{F}\mathcal{F}f=f^{-}$$

即，对一个函数进行两次傅里叶变换的结果，等于原函数取反

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小结一下本文，并给出一个实际应用：

我们主要得到了以下几个傅里叶变换的实用公式：

(Ff)−=F−1f=F(f−)" role="presentation">(Ff)−=F−1f=F(f−)$$(\mathcal{F}f{)}^{-}={\mathcal{F}}^{-1}f=\mathcal{F}(f^{-})$$

FFf=f−" role="presentation">FFf=f−$$\mathcal{F}\mathcal{F}f=f^{-}$$

注意这些公式不一定都有相应的物理意义，但是在实际使用中可以大大简化我们的计算量

例：求sinc" role="presentation" style="position: relative;">sinc$sinc$函数的傅里叶变换

如果直接求解，会变得非常麻烦，于是我们使用上述公式，FFf=f−" role="presentation" style="position: relative;">FFf=f−$\mathcal{F}\mathcal{F}f=f^{-}$。在之前的讨论中，我们知道对矩形函数，即Π" role="presentation" style="position: relative;">Π$\mathrm{\Pi }$函数进行傅里叶变换可以得到sinc" role="presentation" style="position: relative;">sinc$sinc$函数，因此我们有

Fsinc=FFΠ=Π−" role="presentation">Fsinc=FFΠ=Π−$$\mathcal{F}sinc=\mathcal{F}\mathcal{F}\mathrm{\Pi }={\mathrm{\Pi }}^{-}$$

而由Π" role="presentation" style="position: relative;">Π$\mathrm{\Pi }$函数的定义，可知它是一个偶函数

因此我们可以直接得出

Fsinc=Π" role="presentation">Fsinc=Π$$\mathcal{F}sinc=\mathrm{\Pi }$$

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