「m序列」m序列详解及VHDL语言实现

m序列

m序列的产生

简介

m序列是最长线性反馈移位寄存器序列的简称，是由带线性反馈的移位寄存器产生的周期最长的序列。下图是一个4级线性反馈移位寄存器。

4级线性反馈移位寄存器假若初始状态为 $（ a_{3}, a_{2}, a_{1}, a_{0} ） = (1, 0, 0, 0) （a_3,a_2,a_1,a_0）=(1,0,0,0)$ （a3,a2,a1,a0）=(1,0,0,0),那么在移位一次时，由 $a_{3} a_3$ a3和 $a_{0} a_0$ a0模2相加产生新的输入，放到寄存器 $a_{3} a_3$ a3中；寄存器 $a_{2} a_2$ a2值更新为寄存器 $a_{3} a_3$ a3原来的值；寄存器 $a_{1} a_1$ a1值更新为寄存器 $a_{2} a_2$ a2原来的值；寄存器 $a_{0} a_0$ a0值更新为寄存器 $a_{1} a_1$ a1原来的值；输出为寄存器 $a_{0} a_0$ a0原来的值。移位一次后，新的状态变为 $（ a_{3}, a_{2}, a_{1}, a_{0} ） = (1, 1, 0, 0) （a_3,a_2,a_1,a_0）=(1,1,0,0)$ （a3,a2,a1,a0）=(1,1,0,0)。这样移位15次后又回到初始状态（1，0，0，0）。状态更新如图所示。

在这里插入图片描述如果初始状态为全“0”状态，则移位后得到的仍是全“0”状态。这就意味着在这种反馈移位寄存器中应该避免出现全“0”状态，否则移位寄存器的状态将不会改变。因为4级移位寄存器共有 $2^{4} = 16 2^4=16$ 24=16可能的状态。除全“0”状态外，只剩下15种状态可用。这就是说，由任何4级反馈移位寄存器产生的序列的周期最长为15。一般来说，一个n级线性反馈移位寄存器可能产生的最长周期等于 $（ 2^{n} - 1 ）（2^n-1）$ （2n−1），将这种最长的序列称为最长线性反馈移位寄存器序列，简称m序列。

线性反馈移位寄存器

一般的线性反馈移位寄存器原理方框图如下图所示，图中各级寄存器的状态用 $a_{i} a_i$ ai表示， $a_{i} a_i$ ai=0或1，i为整数。反馈线的连接状态用 $c_{i} c_i$ ci表示， $c_{i} c_i$ ci表示此线接通（参加反馈）； $c_{i} c_i$ ci=0表示此线断开。反馈线的连接状态不同，就可能改变此移位寄存器输出序列的周期p。

在这里插入图片描述上文指出， $c_{i} c_i$ ci的取值决定了移位寄存器的反馈连接和序列的结构，所以 $c_{i} c_i$ ci是一个很重要的参量。现将它用下列方程表示：

$f (x) = c_{0} x + c_{1} x^{2} + \dots + c_{n} x^{n} = \sum_{i = 0}^{n} c_{i} x^{i} f(x) = c_0x +c_1 x^2 + {\cdots} + c_nx^n = \sum_{i=0}^n c_ix^i$ f(x)=c0x+c1x2+⋯+cnxn=i=0∑ncixi

这一方程成为特征方程（或特征多项式）。式中 $x^{i} x^i$ xi仅指明其系数代表的 $c_{i} c_i$ ci的值， $x x$ x本身并无实际意义，也不想要计算 $x x$ x的值。例如特征方程

$f (x) = 1 + x + x^{4} f(x) = 1 + x +x^4$ f(x)=1+x+x4

则它仅表示 $x^{0} x^0$ x0， $x^{1} x^1$ x1， $x^{4} x^4$ x4的系数 $c_{0} c_0$ c0= $c_{1} c_1$ c1= $c_{4} c_4$ c4=1，其余的 $c_{i} c_i$ ci为0。按照这一特征方程构成的反馈移位寄存器如图所示。

在这里插入图片描述

VHDL语言实现

代码

程序用于实现特征方程

$f (x) = 1 + x + x^{4} f(x) = 1 + x +x^4$ f(x)=1+x+x4

程序中的组合逻辑产生下一状态的最高位，即a_3；时序逻辑用于生成下一个状态，并输出最低位。

----------------------------------------------------------------------------------
-- Company: 
-- Engineer: 
-- 
-- Create Date:    17:29:15 01/29/2019 
-- Design Name: 
-- Module Name:    linear_fsr - Behavioral 
-- Project Name: 
-- Target Devices: 
-- Tool versions: 
-- Description: 特征方程f(x) = 1 + x + x^4
--
-- Dependencies: 
--
-- Revision: 
-- Revision 0.01 - File Created
-- Additional comments: 
--
----------------------------------------------------------------------------------
library IEEE;
use IEEE.STD_LOGIC_1164.ALL;


entity linear_fsr is
	port(
		clk            : in std_logic;
		rst_n          : in std_logic;
		
		data_o         : out std_logic
	);
end linear_fsr;

architecture Behavioral of linear_fsr is

	signal sr        : std_logic_vector(3 downto 0);
	signal tmp       : std_logic;
	
begin

	tmp <= sr(3) xor sr(0);
	
	process(clk,rst_n)
	begin
		if rst_n = '0' then
			sr <= "1000";
			data_o <= '0';
		elsif rising_edge(clk) then
			sr <= tmp & sr(3 downto 1);
			data_o <= sr(0);
		end if;
	end process;

end Behavioral;

仿真图

程序仿真图如下所示

在这里插入图片描述信号sr表示移位寄存器中各个寄存器内部的值。复位时，移位寄存器的初始状态为1000。当复位键拉高之后，在每一个时钟上升沿，移位寄存器内部寄存器值改变，并产生一个输出。对比仿真图与理论推导，结果一致。

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