「黎曼zeta函数」黎曼 zeta 函数与黎曼猜想

黎曼zeta函数

$ζ (s) \zeta (s)$ ζ(s), is a function of a complex variable $s s$ s that analytically continues the sum of the infinite series：

$ζ (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}$ ζ(s)=n=1∑∞ns1

1. 基本性质

$s s$ s 的实部如果大于 1，则级数收敛；
$ζ (1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots = \infty \zeta(1)=1+\frac12+\frac13+\cdots=\infty$ ζ(1)=1+21+31+⋯=∞，调和级数发散；
证明方式非常经典，
$\begin{matrix} ζ (1) = & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \dots \\ = & 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16}) + (\frac{1}{17} + \dots + \frac{1}{32}) + \dots \\ > & 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{16}) + (\frac{1}{32} + \dots + \frac{1}{32}) + \dots \\ = & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots \end{matrix} \begin{array}{rl}
\zeta(1)=&1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\cdots\\
=&1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\left(\frac19+\cdots+\frac1{16}\right)+\left(\frac1{17}+\cdots+\frac1{32}\right)+\cdots\\
\gt&1+\frac12+\left(\frac14+\frac14\right)+\left(\frac18+\frac18+\frac18+\frac18\right)+\left(\frac1{16}+\cdots+\frac1{16}\right)+\left(\frac1{32}+\cdots+\frac1{32}\right)+\cdots\\
=& 1+\frac12+\frac12+\frac12 + \cdots
\end{array}$ ζ(1)==>=1+21+31+41+51+61+71+81+⋯1+21+(31+41)+(51+61+71+81)+(91+⋯+161)+(171+⋯+321)+⋯1+21+(41+41)+(81+81+81+81)+(161+⋯+161)+(321+⋯+321)+⋯1+21+21+21+⋯
$ζ (2) = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots = \frac{π^{2}}{6} \zeta(2)=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}6$ ζ(2)=1+221+321+⋯=6π2，这也是 $π \pi$ π 近似计算的重要公式；
对于 $ζ (- 1) = 1 + 2 + 3 + \dots \zeta(-1)=1+2+3+\cdots$ ζ(−1)=1+2+3+⋯（全体自然数的和），欧拉证明其值为 $- \frac{1}{12} -\frac1{12}$ −121，这样一神奇的结论怎么计算出来的呢？
已知 $\frac{x}{(1 - x)^{2}} \frac{x}{(1-x)^2}$ (1−x)2x 的泰勒展开：
$\begin{matrix} \frac{x}{(1 - x)^{2}} = & \sum_{n = 1} n x^{n} \\ = & x + 2 x^{2} + 3 x^{3} + \dots \end{matrix} \begin{array}{rl}
\frac{x}{(1-x)^2}=&\sum_{n=1}nx^n\\
=&x+2x^2+3x^3+\cdots
\end{array}$ (1−x)2x==∑n=1nxnx+2x2+3x3+⋯
考虑当 $x = - 1 x=-1$ x=−1 时，上述等式可转化为：
$\begin{matrix} - \frac{1}{4} = & - 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 + \dots \\ = & - (1 + 3 + 5 + \dots ) & + (2 + 4 + 6 + \dots ) \\ = & (- (1 + 2 + 3 + \dots ) + (2 + 4 + 6 + \dots )) & + (2 + 4 + 6 + \dots ) \\ = & - (1 + 2 + 3 + \dots ) & + 2 (2 + 4 + 6 + \dots ) \\ = & - (1 + 2 + 3 + \dots ) & + 4 (1 + 2 + 3 + \dots ) \\ = & 3 \sum_{n = 1} n \end{matrix} \begin{array}{rlr}
-\frac14=&-1+2-3+4-5+6+\cdots\\
=&-(1+3+5+\cdots)&+(2+4+6+\cdots)\\
=&\left(-(1+2+3+\cdots)+(2+4+6+\cdots)\right)&+(2+4+6+\cdots)\\
=&-(1+2+3+\cdots)&+2(2+4+6+\cdots)\\
=&-(1+2+3+\cdots)&+4(1+2+3+\cdots)\\
=&3\sum_{n=1}n
\end{array}$ −41======−1+2−3+4−5+6+⋯−(1+3+5+⋯)(−(1+2+3+⋯)+(2+4+6+⋯))−(1+2+3+⋯)−(1+2+3+⋯)3∑n=1n+(2+4+6+⋯)+(2+4+6+⋯)+2(2+4+6+⋯)+4(1+2+3+⋯)
因此， $ζ (- 1) \zeta(-1)$ ζ(−1) 也即全体自然数的和 $\sum_{n = 1} n = - \frac{1}{12} \sum_{n=1}n=-\frac1{12}$ ∑n=1n=−121

2. 黎曼猜想

素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数 —— 黎曼 zeta 函数，在该函数取值为 0 的一系列特殊的点（非平凡零点）对素数分布的细致规律有着决定性的影响。

黎曼 zeta 函数与黎曼猜想

黎曼zeta函数

1. 基本性质

2. 黎曼猜想

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