Z变换

　

z变换

定义

• 一个离散时间信号x[n]" role="presentation" style="position: relative;">x[n]$x[n]$的z" role="presentation" style="position: relative;">z$z$变换定义为

  X(z)=∑k=−∞+∞x[n]z−n" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">X(z)=∑k=−∞+∞x[n]z−n$$X(z)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$$

• 在连续时间情况下,当变换变量的实部为零时,拉普拉斯变换就变为傅里叶变换;在z变换中是当变换变量z的模为1时,即z=ejw" role="presentation" style="position: relative;">z=ejw$z=e^{jw}$时,z变换就演变为傅里叶变换.

收敛域

• X(z)" role="presentation" style="position: relative;">X(z)$X(z)$的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环
• 收敛域内不包含任何极点
• 如果x[n]" role="presentation" style="position: relative;">x[n]$x[n]$是有限长序列,那么收敛域就是整个z平面,可能去除z=0" role="presentation" style="position: relative;">z=0$z=0$和z=∞" role="presentation" style="position: relative;">z=∞$z=\mathrm{\infty }$
• 如果x[n]" role="presentation" style="position: relative;">x[n]$x[n]$是一个右边序列,并且|z|=r0" role="presentation" style="position: relative;">|z|=r0$|z|=r_0$的圆位于收敛域内,那么|z|>r0" role="presentation" style="position: relative;">|z|>r0$|z|>r_0$的全部有限z值都一定在整个收敛域内.
• 如果x[n]" role="presentation" style="position: relative;">x[n]$x[n]$是一个左边序列,并且|z|=r0" role="presentation" style="position: relative;">|z|=r0$|z|=r_0$的圆位于收敛域内,那么0&lt;|z|&lt;r0" role="presentation" style="position: relative;">0<|z|<r0$0<|z|<r_0$的全部z值都一定在整个收敛域内.
• 如果x[n]" role="presentation" style="position: relative;">x[n]$x[n]$是一个双边序列,并且|z|=r0" role="presentation" style="position: relative;">|z|=r0$|z|=r_0$的圆位于收敛域内,那么该收敛域在z域中一定是包含|z|=r0" role="presentation" style="position: relative;">|z|=r0$|z|=r_0$这一圆环的环状区域
• 如果x[n]" role="presentation" style="position: relative;">x[n]$x[n]$的z变换也是有理的,并且x(z)" role="presentation" style="position: relative;">x(z)$x(z)$是右边序列,那么收敛域就位于z平面内最外层极点的外边

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