「数学小知识」数学小知识汇总

数学小知识

（1）矩阵范数

||w||带一个下标2：意思是这个该向量的范数为欧几里得范数，也叫2-范数，就是向量的长度。设w=<x1,x2,x3>, ||w||下标2=x1^2+x2^2+x3^2 的开根号。

||w||无任何标：省略下标2，因为2范数最常用，同上。

||w||上下都有2：意思是二范数的平方

（2）参数化parametric parameterization

把要表达的实体的要素，转化成某个函数的变量，通过改变函数变量就能描述不同的实体。

例如Bezier曲线

（3）six-freedom degree

物体在空间具有六个自由度，即沿x、y、z三个直角坐标轴方向的移动自由度和绕这三个坐标轴的转动自由度。因此，要完全确定物体的位置，就必须清楚这六个自由度。

在平面中，只有三个自由度，一者在面内旋转，二者为上下及左右两个移动。

（4）梯度和梯度场

假如一个空间中的每一点的属性都可以以一个标量来代表的话，那么这个场就是一个标量场。

假如一个空间中的每一点的属性都可以以一个向量来代表的话，那么这个场就是一个向量场

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。

2、计算

一个标量函数 $\varphi$ 的梯度记为：

$\nabla \varphi$ 或 $\rm grad \varphi$

其中 $\nabla$ （nabla）表示矢量微分算子。

在三维情况，该表达式在直角坐标中扩展为

$\nabla \phi =\begin{pmatrix}{\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}}\end{pmatrix}$