海伦公式的证明——杨子曰数学

　

海伦公式证明

海伦公式的证明——杨子曰数学

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瞎BB：我之所以会推这样一篇博客是为了练习一下MarkDown数学公式的语法

再瞎BB一句：不要一提到海伦，脑子里就浮现出一个女人的画面，这里的海伦是一个男的！男的！男的！

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相信大家在刚刚开始打代码，懵懂无知的时候一定打过一道题叫海伦公式——输入三角形三条边输出三角形的面积（说没打过的你够了），那大家有没有一颗好奇的心（没有）思考过为什么海伦公式是正确的呢？

我在这里给大家提供一种相对比较简单的证明方法，你只要有一点点的三角函数基础，知道余弦定理，会一点点的代数就可以证明了，然后你就可以像我一样四处装逼

黑喂狗：

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$S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}ab\sin c$S△ABC​=21​absinc

$S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-{\cos }^{}c}\mathrm{（}si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1\mathrm{）}$S△ABC​=21​ab1−cos2c​（sin2α+cos2α=1）

$S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\frac{(a^2+b^2-c^2{)}^2}{4a^2{b}^2}}\left(\mathrm{余}\mathrm{弦}\mathrm{定}\mathrm{理}\right)$S△ABC​=21​ab1−4a2b2(a2+b2−c2)2​​(余弦定理)

$S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(2ab{)}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}{4a^2{b}^2}}$S△ABC​=21​ab4a2b2(2ab)2−(a2+b2−c2)2​​

$S_{\mathrm{△}ABC}=\sqrt{\frac{a^2{b}^2}{4}\ast \frac{(2ab{)}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}{4a^2{b}^2}}$S△ABC​=4a2b2​∗4a2b2(2ab)2−(a2+b2−c2)2​​

$S_{\mathrm{△}ABC}=\sqrt{\frac{(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)}{16}}\mathrm{（}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{差}\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{）}$S△ABC​=16(2ab−a2−b2+c2)(2ab+a2+b2−c2)​​（平方差公式）

$S_{\mathrm{△}ABC}=\sqrt{\frac{(-(a-b{)}^2+c^2\left)\right((a+b{)}^2-c^2)}{16}}\mathrm{（}\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{）}$S△ABC​=16(−(a−b)2+c2)((a+b)2−c2)​​（完全平方公式）

$S_{\mathrm{△}ABC}=\sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)}{16}}\mathrm{（}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{差}\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{）}$S△ABC​=16(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)(a+b+c)​​（平方差公式）

$S_{\mathrm{△}ABC}=\sqrt{\frac{-a+b+c}{2}\ast \frac{a-b+c}{2}\ast \frac{a+b-c}{2}\ast \frac{a+b+c}{2}}$S△ABC​=2−a+b+c​∗2a−b+c​∗2a+b−c​∗2a+b+c​​

$S_{\mathrm{△}ABC}=\sqrt{(p-a)\ast (p-b)\ast (p-c)\ast p}$S△ABC​=(p−a)∗(p−b)∗(p−c)∗p​

得证

可以说一下是怎么想到这样证明的：首先先要三角形的面积公式中于边有最密切关系的就是$S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}ab\sin c$S△ABC​=21​absinc但是有一个三角函数很碍事，So，我们考虑到能把三角函数变成边长的只有余弦定理，那我们就用$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$sin2α+cos2α=1把正弦化成余弦，于是整个式子就只剩边长了，Then，我们就开始算呀算呀算，最后就化成了海伦公式

OK，完事

于XJ机房607

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